EJERCICIOS

TEMA  11 ÁNGULOS

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1.- Un triángulo tiene dos ángulos de 30º y 60º . ¿Qué tipo de triángulo es?

 

2.- Uno de los ángulos de un triángulo isósceles mide 63º. ¿Cuánto miden los otros ángulos?                                                    

 

3.- Si en un triángulo dos ángulos suman 114º 38’ 24”, ¿cuánto mide el otro ángulo?

 

4.- ¿Cuánto mide cada ángulo en un triángulo isósceles rectángulo?

 

5.- Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 25º. ¿Cuánto miden los tres ángulos exteriores? Dibújalo.

 

6.- Si en esta figura el  ángulo A = 37º y el C= 89º cuánto miden los demás ángulos.  

                                               

                                 

7.-Si el triángulo de la figura es isósceles y el ángulo X midiera 32º ¿cuánto mediría el ángulo Y?

                                             

 

8.- ¿Cuál es la suma de los ángulos de un hexágono? ¿Si fuera regular, cuánto mediría cada ángulo?

 

9.- ¿Cuánto suman los ángulos de un eneágono regular? ¿Y de uno que fuera irregular?

 

10.- La suma de los ángulos de un polígono regular es  1620º. ¿Qué polígono es?. ¿Cuánto mide cada ángulo?

 

11.- En un rombo un ángulo mide 55º. ¿Cuánto miden los otros 3 ángulos?

 

12.- ¿Cómo se llama el polígono regular de 3 lados? ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos?

 

13.- ¿Cómo se llama el segmento que unimos con un arco?

 

14.- Clasifica los ángulos que aparecen, como inscritos, interiores, o exteriores.

 

15.- En una misma circunferencia dibuja un ángulo central de 90º, y otro de 270º de otro color.

 

16.- Una circunferencia de radio 10cm. ¿Cuál es su longitud? ¿Cuál la de un arco de 60º?

 

17.-Una circunferencia de radio 6cm tiene un arco de 120º ¿Cuál es la longitud de dicho arco?

 

18.- Dos arcos de la misma amplitud, ¿en qué caso tendrán también la misma longitud?

 

19.- En una circunferencia de 5’5 cm de radio trazamos la cuerda más larga posible. ¿Cuánto mide?

 

20.- ¿Cuánto mide un ángulo inscrito que abarca un arco de 50º?

 

21.- ¿Cuánto mide un ángulo interior que abarca dos arcos de 100º y 40º?

        ¿Cuánto mediría dicho ángulo si fuera exterior en vez de interior?

 

SOLUCIONES.

 

1.- Si los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180º y estos dos conocidos (30+60) suman 90º, el otro que queda

será de 90º y por tanto el triángulo será rectángulo por tener un ángulo recto.

2.- Si el triángulo es isósceles tendrá dos ángulos iguales, luego habrá otro de 63º. El tercer ángulo será:

x = 180 - 63-63 = 54º

3.-Será la diferencia de 180 con esa cantidad. Para restar debemos convertir primero los 180 de todo

 el triángulo en algunos minutos y algunos segundos. Para ello canjeamos un grado por 60 minutos (180º= 179º 60')

y después hacemos lo mismo con un minuto al pasarlo a 60 segundos. (180º = 179º 59'60'')

así  179º 59' 60''

-     114º 38' 24''

        65º 21' 36''

4.- Suman 180º, otra vez. Si un ángulo es recto (90º) quedan para los otros dos otros 90 grados (180-90= 90)

de modo que , como es isósceles los dos ángulos serán iguales y cada uno medirá 90/2 , o sea 45º.

5.- Si un ángulo es recto y otro mide 25 se puede saber el valor del ángulo exterior opuesto (X)

X = 90 + 25 = 115º.

Sabido X se puede calcular su complementario ...

C = 180 - 115 = 65º

Y sabido éste los restantes exteriores , sumando  los dos interiores opuestos...

Y = 65 + 90 = 155º

Z = 25 + 90 = 115º

 

6.- Empezamos por el ángulo exterior E

E = 37 + 89 = 126º

Podemos seguir con su complementario , B

B = 180 - 126 = 54º

Conocido este valor los demás exteriores salen ya seguidos...

F = 37 + 54 = 91º       G = 54 + 89 = 144º

 

7.-  Como dos ángulos son iguales habrá otro ángulo de 32º. Y = 180-32-32 = 116º

 

8.- La suma de los ángulos de cualquier polígono convexo se calcula con la fórmula S = 180·(L-2)

El 180 es porque son los grados de cualquier triángulo y (L-2) son los triángulos en que se puede dividir

el polígono partiendo siempre desde un vértice hacia los demás vértices.

Como el polígono es un hexágono L = 6 ...    S = 180*( 6-2 ) = 180*4 = 720º

Un sólo ángulo mediría x = 720/6  = 120º

 

9.- Eneágono tiene 9 lados. S = 180*( 9 - 2 ) = 180*7 = 1260º . Si es irregular la cuenta es la misma.

 

10.- S = 180 · (L - 2) En este caso lo que nos piden es el valor de L y el que nos dan es el de S (la suma).

Hacemos lo mismo: sustituir en la fórmula.                                         1620 = 180·(L - 2)

Pasando el 180 al otro lado haciendo la operación contraria:       1620/180 = L - 2

Y pasando ahora el 2 que estaba restando, al otro lado sumando:      9  + 2 = L           =>  11 = L

El polígono es un undecágono, con 11 ángulos, luego el valor de uno será α = 1620/11 = 147º16'12"

 

11.- El rombo tiene 4 lados. Por tanto la suma de sus cuatro ángulos será :  S = 180 (4-2)

                                                                                                                  S = 180*2 = 360º.

Además, el rombo tiene los ángulos iguales dos a dos. Así, si un ángulo es 55º habrá otro de 55º.

Para saber los otros dos: 360 - 55 - 55 = 250º Como los dos son iguales α = 25072 = 125º

 

12.-Triángulo equilátero. Cada ángulo mide α = 180 / 3 = 60º

 

13.- Cuerda.

 

14.- A = Exterior  B = inscrito, C = Interior, D = Inscrito.

 

15.-

 

16.- L = π · r· n / 180  =  3'14·10cm·360º /180 = 62'8 cm

   Para un arco de 60º :    L = 3'14·10cm·60/180 = 10'5cm

 

17.- Igualmente:   L = π·r·n/180 = 3'14·6cm ·120º /180 = 12'56cm

 

18.- Cuando estén en la misma circunferencia o en circunferencias de igual radio.

 

19.- La cuerda más larga es el diámetro. Medirá 3'5 · 2 = 7cm

 

20.-Un ángulo inscrito mide la mitad de la amplitud del arco que abarca, así que : I = 50/2 = 25º

 

21.-Si es interior las amplitudes se suman y dividen entre 2:                I = (100+40)/2 = 70º

      Si es exterior las amplitudes se restan y también dividen entre 2 :  E = (100-40)/2 = 30º